1
#LyX 1.6.4.2 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
2
\lyxformat 345
3
\begin_document
4
\begin_header
5
\textclass article
6
\use_default_options true
7
\language english
8
\inputencoding auto
9
\font_roman default
10
\font_sans default
11
\font_typewriter default
12
\font_default_family default
13
\font_sc false
14
\font_osf false
15
\font_sf_scale 100
16
\font_tt_scale 100
17
18
\graphics default
19
\paperfontsize default
20
\use_hyperref false
21
\papersize default
22
\use_geometry false
23
\use_amsmath 1
24
\use_esint 1
25
\cite_engine basic
26
\use_bibtopic false
27
\paperorientation portrait
28
\secnumdepth 3
29
\tocdepth 3
30
\paragraph_separation indent
31
\defskip medskip
32
\quotes_language english
33
\papercolumns 1
34
\papersides 1
35
\paperpagestyle default
36
\tracking_changes false
37
\output_changes false
38
\author "" 
39
\author "" 
40
\end_header
41
42
\begin_body
43
44
\begin_layout Section*
45
Tehtävä 3
46
\end_layout
47
48
\begin_layout Standard
49
Tarkastellaan alunperin samanmuotoista peto-saalismallia kuin tehtävässä
50
 2.
51
 Nyt saaliiden kasvunopeutta rajoitetaan termillä 
52
\begin_inset Formula $-eu^{2}$
53
\end_inset
54
55
, jolloin saadaan seuraavanlainen malli
56
\end_layout
57
58
\begin_layout Standard
59
\begin_inset Formula \begin{align}
60
\frac{\partial u}{\partial t} & =au-eu^{2}-buv\,,\nonumber \\
61
\frac{\partial v}{\partial t} & =v(cu-d)\,.\label{eq:malli3}\end{align}
62
63
\end_inset
64
65
(Huomaa, että parametri 
66
\begin_inset Formula $e$
67
\end_inset
68
69
 ei liity mitenkään tehtävän 2 samannimiseen parametriin, ja että toinen
70
 yhtälö on samaa muotoa kuin tehtävänannossa käytetty 
71
\begin_inset Formula $v_{t}=cv(u-\tilde{d})$
72
\end_inset
73
74
, missä 
75
\begin_inset Formula $\tilde{d}=d/c$
76
\end_inset
77
78
.
79
 Tässä käytetään kuitenkin yllä olevaa muotoa.)
80
\end_layout
81
82
\begin_layout Standard
83
Tehdään muuttujanvaihto
84
\end_layout
85
86
\begin_layout Standard
87
\begin_inset Formula \[
88
t=\frac{1}{d}\tau\,,\]
89
90
\end_inset
91
92
ja merkitään
93
\end_layout
94
95
\begin_layout Standard
96
\begin_inset Formula \[
97
\tilde{u}(\tau)=u(d\tau)=u(t)\,,\qquad\tilde{v}(\tau)=v(d\tau)=v(t)\,.\]
98
99
\end_inset
100
101
Ketjusäännöllä saadaan
102
\end_layout
103
104
\begin_layout Standard
105
\begin_inset Formula \begin{align*}
106
\frac{\partial u}{\partial t} & =\frac{\partial\tilde{u}}{\partial\tau}\frac{\partial\tau}{\partial t}=d\frac{\partial\tilde{u}}{\partial\tau}\,,\\
107
\frac{\partial v}{\partial t} & =\frac{\partial\tilde{v}}{\partial\tau}\frac{\partial\tau}{\partial t}=d\frac{\partial\tilde{v}}{\partial\tau}.\end{align*}
108
109
\end_inset
110
111
112
\end_layout
113
114
\begin_layout Standard
115
Jättämällä 
116
\begin_inset ERT
117
status open
118
119
\begin_layout Plain Layout
120
121
122
\backslash
123
~{}
124
\end_layout
125
126
\end_inset
127
128
-merkit pois malli 
129
\begin_inset CommandInset ref
130
LatexCommand eqref
131
reference "eq:malli3"
132
133
\end_inset
134
135
 saadaan muuttujanvaihdon jälkeen muotoon
136
\end_layout
137
138
\begin_layout Standard
139
\begin_inset Formula \begin{align*}
140
d\frac{\partial u}{\partial\tau} & =au-eu^{2}-buv\\
141
d\frac{\partial v}{\partial\tau} & =v(cu-d)\,,\end{align*}
142
143
\end_inset
144
145
ja edelleen
146
\begin_inset Formula \begin{align*}
147
\frac{\partial u}{\partial\tau} & =\frac{a}{d}u(1-\frac{e}{a}u-\frac{b}{a}v)\\
148
\frac{\partial v}{\partial\tau} & =v(\frac{c}{d}u-1)\,.\end{align*}
149
150
\end_inset
151
152
153
\end_layout
154
155
\begin_layout Standard
156
Tehdään muunnokset
157
\begin_inset Formula \[
158
\hat{u}=\frac{c}{d}u\Leftrightarrow u=\frac{d}{c}\hat{u}\]
159
160
\end_inset
161
162
ja
163
\end_layout
164
165
\begin_layout Standard
166
\begin_inset Formula \[
167
\hat{v}=\frac{b}{a}v\Leftrightarrow v=\frac{a}{b}\hat{v}\,.\]
168
169
\end_inset
170
171
Malli saadaan muunnosten jälkeen muotoon
172
\end_layout
173
174
\begin_layout Standard
175
\begin_inset Formula \begin{align*}
176
\frac{d}{c}\frac{\partial\hat{u}}{\partial\tau} & =\frac{a}{d}\frac{d}{c}\hat{u}(1-\frac{e}{a}\frac{d}{c}\hat{u}-\hat{v})\\
177
\frac{a}{b}\frac{\partial\hat{v}}{\partial\tau} & =\frac{a}{b}\hat{v}(\hat{u}-1)\,,\end{align*}
178
179
\end_inset
180
181
eli
182
\begin_inset Formula \begin{align*}
183
\frac{\partial\hat{u}}{\partial\tau} & =\frac{a}{d}\hat{u}(1-\frac{de}{ac}\hat{u}-\hat{v})\\
184
\frac{\partial\hat{v}}{\partial\tau} & =\hat{v}(\hat{u}-1)\,.\end{align*}
185
186
\end_inset
187
188
Merkitään vielä
189
\begin_inset Formula \[
190
\hat{a}=\frac{a}{d}\,,\;\hat{e}=\frac{de}{ac}\]
191
192
\end_inset
193
194
jolloin alkuperäinen malli 
195
\begin_inset CommandInset ref
196
LatexCommand eqref
197
reference "eq:malli3"
198
199
\end_inset
200
201
 saa lopulta muodon 
202
\begin_inset Formula \begin{align}
203
\frac{\partial\hat{u}}{\partial\tau} & =\hat{a}\hat{u}(1-\hat{e}\hat{u}-\hat{v})\nonumber \\
204
\frac{\partial\hat{v}}{\partial\tau} & =\hat{v}(\hat{u}-1)\,.\label{eq:malli3final}\end{align}
205
206
\end_inset
207
208
209
\end_layout
210
211
\begin_layout Standard
212
Tehdään mallille 
213
\begin_inset CommandInset ref
214
LatexCommand eqref
215
reference "eq:malli3final"
216
217
\end_inset
218
219
 stabiilisuusanalyysi laskemalla systeemin tasapainotilat sekä muodostamalla
220
 systeemille stabiilisuusmatriisi.
221
\end_layout
222
223
\begin_layout Standard
224
Merkitään 
225
\begin_inset Formula $F(u,v)=au(1-eu-v)$
226
\end_inset
227
228
 ja 
229
\begin_inset Formula $G(u,v)=v(u-1)$
230
\end_inset
231
232
.
233
 Lasketaan ensin stabiilisuusmatriisi 
234
\begin_inset Formula $A$
235
\end_inset
236
237
:
238
\end_layout
239
240
\begin_layout Standard
241
\begin_inset Formula \[
242
A=\left(\begin{array}{cc}
243
F_{u} & F_{v}\\
244
G_{u} & G_{v}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
245
a(1-v-2eu) & -au\\
246
v & u-1\end{array}\right)\:.\]
247
248
\end_inset
249
250
Mallin 
251
\begin_inset CommandInset ref
252
LatexCommand eqref
253
reference "eq:malli3final"
254
255
\end_inset
256
257
 tasapainotilat löydetään ratkaisemalla yhtälöpari
258
\begin_inset Formula \begin{align}
259
au(1-eu-v) & =0\,,\nonumber \\
260
v(u-1) & =0\,.\label{eq:tasap}\end{align}
261
262
\end_inset
263
264
Yhtälöparin 
265
\begin_inset CommandInset ref
266
LatexCommand eqref
267
reference "eq:tasap"
268
269
\end_inset
270
271
 ratkaisut ovat 
272
\begin_inset Formula \begin{alignat*}{3}
273
u= & 0\,,\qquad\text{ja}\qquad & u= & 1\,,\qquad\text{ja}\qquad & u= & \frac{1}{e}\,,\\
274
v= & 0\,, & v= & 1-e\,, & v= & 0\,.\end{alignat*}
275
276
\end_inset
277
278
Tarkastellaan seuraavaksi tasapainotilojen stabiiliutta.
279
 Stabiilisuusmatriisi 
280
\begin_inset Formula $A$
281
\end_inset
282
283
 pisteessä 
284
\begin_inset Formula $(0,0)$
285
\end_inset
286
287
 on
288
\end_layout
289
290
\begin_layout Standard
291
\begin_inset Formula \[
292
A=\left(\begin{array}{cc}
293
a & 0\\
294
0 & -1\end{array}\right)\:.\]
295
296
\end_inset
297
298
299
\begin_inset Formula $A$
300
\end_inset
301
302
:n ominaisarvot ovat 
303
\begin_inset Formula $a$
304
\end_inset
305
306
 ja -1.
307
 Koska 
308
\begin_inset Formula $a>0$
309
\end_inset
310
311
, on tila 
312
\begin_inset Formula $(0,0)$
313
\end_inset
314
315
 epästabiili.
316
\end_layout
317
318
\begin_layout Standard
319
Pisteessä 
320
\begin_inset Formula $(1,1-e)$
321
\end_inset
322
323
 
324
\begin_inset Formula $A$
325
\end_inset
326
327
 on
328
\end_layout
329
330
\begin_layout Standard
331
\begin_inset Formula \[
332
A=\left(\begin{array}{cc}
333
-ae & -a\\
334
1-e & 0\end{array}\right)\;.\]
335
336
\end_inset
337
338
339
\begin_inset Formula $A$
340
\end_inset
341
342
:n ominaisarvot ovat
343
\begin_inset Formula \begin{align*}
344
\lambda_{1}= & -\frac{ae}{2}+\frac{\sqrt{a^{2}e^{2}-4a(1-e)}}{2}\,,\\
345
\lambda_{2}= & -\frac{ae}{2}-\frac{\sqrt{a^{2}e^{2}-4a(1-e)}}{2}\,.\end{align*}
346
347
\end_inset
348
349
350
\begin_inset Formula $\lambda_{2}$
351
\end_inset
352
353
:n reaaliosa on selvästi aina negatiivinen.
354
 
355
\begin_inset Formula $\lambda_{1}$
356
\end_inset
357
358
:n reaaliosa on negatiivinen, jos 
359
\begin_inset Formula \[
360
a^{2}e^{2}>a^{2}e^{2}-4a(1-e)\]
361
362
\end_inset
363
364
eli 
365
\begin_inset Formula \[
366
e<1.\]
367
368
\end_inset
369
370
Siis tasapainotila 
371
\begin_inset Formula $(1,1-e)$
372
\end_inset
373
374
 on stabiili, kun 
375
\begin_inset Formula $0<e<1$
376
\end_inset
377
378
.
379
 Tasapainotila 
380
\begin_inset Formula $(1,1-e)$
381
\end_inset
382
383
 on epästabiili, kun 
384
\begin_inset Formula $e>1$
385
\end_inset
386
387
.
388
 Kyseinen tasapainotila ei ole stabiili eikä epästabiili, kun 
389
\begin_inset Formula $e=1$
390
\end_inset
391
392
.
393
\end_layout
394
395
\begin_layout Standard
396
Tasapainotilassa 
397
\begin_inset Formula $(1/e,0)$
398
\end_inset
399
400
 stabiilisuusmatrsiisi 
401
\begin_inset Formula $A$
402
\end_inset
403
404
 on
405
\end_layout
406
407
\begin_layout Standard
408
\begin_inset Formula \[
409
A=\left(\begin{array}{cc}
410
-a & -a/e\\
411
0 & 1/e-1\end{array}\right)\:.\]
412
413
\end_inset
414
415
416
\begin_inset Formula $A$
417
\end_inset
418
419
:n ominaisarvot ovat 
420
\begin_inset Formula $\lambda_{1}=-a$
421
\end_inset
422
423
 ja 
424
\begin_inset Formula $\lambda_{2}=1/e-1$
425
\end_inset
426
427
.
428
 
429
\begin_inset Formula $\lambda_{1}<0$
430
\end_inset
431
432
 aina, ja 
433
\begin_inset Formula $\lambda_{2}<0$
434
\end_inset
435
436
, jos 
437
\begin_inset Formula $e>1$
438
\end_inset
439
440
.
441
 Tasapainotila 
442
\begin_inset Formula $(1/e,0)$
443
\end_inset
444
445
 on epästabiili, kun 
446
\begin_inset Formula $e<1$
447
\end_inset
448
449
.
450
 Kyseinen tasapainotila ei ole stabiili eikä epästabiili, kun 
451
\begin_inset Formula $e=1$
452
\end_inset
453
454
.
455
\end_layout
456
457
\end_body
458
\end_document